Он родился в станице Азовской, в многодетной семье простых сельских тружеников. В 14 лет Фёдор поступил в фабрично-заводское училище в Краснодар, а после был слесарем на знаменитом заводе имени Седина.
Без отрыва от производства юноша поступил на рабфак, а в 1938 году успешно сдал экзамены в Краснодарский мединститут. Получив диплом в 1942 году, Бабенко добровольно ушёл на фронт, попал в отдельную горнострелковую дивизию, где служил врачом полка. Днём и ночью, летом и зимой, под дождём и в морозы санитарная рота в полевых условиях перевязывала раненых, а потом отправляла их в медсанбат.
Страшные моменты пережил Фёдор Григорьевич при форсировании Днепра, при выходе из окружения под Житомиром. Бомбёжка, артобстрелы, движение немецких бронированных частей и танков…
В 1944 году Бабенко был серьёзно ранен. После выздоровления был назначен врачом санитарной летучки, а закончил он службу в 1946 году уже хирургическим ординатором эвакогоспиталя.
За ратный подвиг в годы войны Фёдор Григорьевич награждён орденами Красной Звезды, Отечественной войны II степени, «Знак Почёта», многочисленными медалями.
После демобилизации военврач Бабенко вернулся в родной Северский район. В июне 1946 года его назначили заведующим отделом здравоохранения Северского райисполкома, а вскоре — заведующим Северским райздравотделом.
Взвалив тяжёлую ношу на плечи, Фёдор Григорьевич нёс её 36 лет, вплоть до ухода на заслуженный отдых в 1982 году. Этот период был трудным, но и самым плодо-творным. Бабенко стоял у истоков глобального восстановления здравоохранения в Северском районе.
Сюда приезжали опытные высококвалифицированные врачи — руководители служб. А чтобы решить проблему с медицинскими сёстрами в 1961 году, на базе районной больницы открылся филиал Новороссийского медицинского училища.
Бабенко оказался прекрасным организатором. По его инициативе построены лечебные корпуса Северской ЦРБ, ильской и черноморской больниц, северской поликлиники, сельских больниц. Одна из заслуг Фёдора Григорьевича — строительство трёхэтажного жилого дома для медицинских работников на 27 квартир в станице Северской. Он не раз признавался коллегам: «Если бы я не стал врачом, непременно бы выучился на строителя».
Фёдор Григорьевич был умелым руководителем, организатором, хозяйственником. Он неоднократно избирался депутатом райсовета, проводил большую общественную работу. Награждён ведомственным значком «Отличник здравоохранения» и медалью «За доблестный труд».
А ещё Фёдор Григорьевич был примерным семьянином. Будущую жену он встретил на войне, а в день Победы 9 Мая у них родилась дочь, которая тоже связала свою жизнь с медициной. Сын воплотил в жизнь вторую мечту отца и стал инженером.
В 2005 году на заседании Совета Северского района было принято решение в знак признания ратного и трудового подвига военного врача Бабенко увековечить его память, установив мемориальную доску на фасаде районной поликлиники. И уже в мае она была торжественно открыта.
Жизнь Фёдора Григорьевича Бабенко — пример честного трудового подвига, именно поэтому, передавая традиции из поколения в поколение, медицинские работники Северской ЦРБ гордятся своим наследием и с достоинством несут звание медицинского работника.